Raketengrundgleichung

Eine Rakete bewegt sich durch das Prinzip des actio = reactio (das dritte Newton'sche Axiom), auch Rückstoßprinzip genannt, das besagt, dass jeder Kraft eine Gegenkraft von gleicher Größe, aber entgegengesetzter Richtung gegenübersteht. "Wenn ich einen Stein stoße, so muß ich dazu eine Kraft aufwenden, und der Stein drückt auf meine Hand mit derselben Kraft zurück", illustriert Hermann Oberth das Prinzip. "Stehe ich dabei auf einem Kahn, so komme ich samt dem Kahn durch diesen Gegendruck [in entgegengesetzter Richtung] in Bewegung."

Gas, das sich in einem geschlossenen Zylinder befindet, übt auf die Wände des Zylinders Druckkräfte aus, die sich aber – der Zylinder ist ja allseitig geschlossen – gegenseitig aufheben. Entfernt man nun den Boden des Zylinders, dann wird der Gasdruck auf die Oberseite nicht mehr aufgehoben, und ist er groß genug, hebt er den Zylinder in die Höhe. Je größer der Druck des Gases im Zylinder, desto größer auch der Druck auf die Oberseite und folglich auch die Kraft (Schub genannt), mit der der Zylinder nach oben gehoben wird. Eine weitere Folgerung: Je größer der Gasdruck im Zylinder, und damit je höher der Schub, desto schneller wird das Gas unten aus dem Zylinder ausströmen.

Eine Weltraum-Rakete ist im Grundsatz nicht anders aufgebaut wie eine gewöhnliche Feuerwerksrakete. Diese, so Oberth, "besteht aus einer festen Hülle, in die irgendein nicht zu rasch abbrennender Sprengstoff (der Treibsatz) geladen ist. Wenn dieser verbrennt, so strömen die Gase nach unten aus, so daß der Rückstoß das Ganze bewegt." Als Zünder fungiert ein schnell brennendes Pulver. Und oben an der Spitze befindet sich die Nutzlast, "Leuchtkugeln oder sonstige Gegenstände, die die Rakete in die Höhe tragen soll. Der Stab dient als Steuer, wenn er fehlt, so beschreibt die Rakete irgendeine unregelmäßige Zickzackkurve, ohne dabei längere Zeit in die Höhe zu fliegen."

Aus all dem folgt: Damit man mit einer Rakete so viel Nutzlast wie möglich so weit oder so hoch wie möglich transportieren kann, muss die Hülle möglichst leicht und der Druck bei der Verbrennung des Treibstoffs möglichst hoch sein. Und die Kunst des Raketenbaus besteht darin, diese beiden Forderungen, die eigentlich in Widerspruch zueinander stehen, in Einklang zu bringen.

A4/V2 (1942)
Saturn 1 (1961)
Saturn V (1967)

Eine Rakete besteht im Grundsatz aus zwei Komponenten: der Masse ihrer Struktur und aus der Masse der Treibstoffe, die sie beim Start mit sich führt. Die Geschwindigkeit einer Rakete setzt sich ebenfalls aus zwei Komponenten zusammen: der Geschwindigkeit, mit der sich die Rakete vorwärts (oder in die Höhe) bewegt und der Geschwindigkeit der (in entgegengesetzter Richtung) ausströmenden Gasteilchen des Treibstoffs. Die fliegende Rakete leistet Arbeit, besitzt als Bewegungsenergie, die man in diesem Fall Impuls - Masse (m) mal Geschwindigkeit (v) - nennt. Der Impuls der vorwärts fliegenden Rakete ist gleich dem Impuls der nach hinten ausströmenden Gasteilchen, es gilt also:

mGase ∙ vGase  =  mRakete ∙ vRakete

Die Endgeschwindigkeit der Rakete nach Brennschluss ergibt sich durch Umstellung der Gleichung

und daraus durch erneutes Umstellen:

Diese Formel, die noch nicht die Raketengleichung ist, besagt, dass die Endgeschwindigkeit der Rakete um so größer ist, je größer die Ausströmgeschwindigkeit der Gase und je größer der Bruch mGase/mRakete ist, also je kleiner die Masse der Rakete im Verhältnis zum Treibstoff ist (da ein Bruch wächst, wenn der Nenner kleiner wird).

Dass obige Formel nicht die endgültige Form der Raketengleichung darstellt, liegt daran, dass bisher ein wesentlicher Punkt unberücksichtigt blieb: Die Masse der Gase, also des Treibstoffs, ist nicht konstant; vielmehr nimmt sie während des Fluges der Rakete kontinuierlich ab. Das Verhältnis von Gasmasse zu Raketenmasse ist also kein linear gleichbleibendes, sondern wird mit fortschreitendem Flug stetig kleiner, bis es – bei verbrauchtem Treibstoff – Null erreicht. Ableiten lässt sich dies nur mit höherer Mathematik; setzt man den Wert – er ist identisch mit der Basis (e) des natürlichen Logarithmus (ln) – in die Formel ein, ergibt sich als endgültige Raketen(grund)gleichung:

Diese Gleichung gilt für eine einstufige Rakete im luftleeren Raum (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands) und weitab jeglicher planetaren Masse (ohne Berücksichtigung der Erdschwere). Aber selbst wenn man sie unter diesen idealisierten Bedingungen durchrechnet, kommt man zum durchaus überraschenden Ergebnis, dass auch bei Verwendung des energiereichsten Treibstoffs (nämlich Wasserstoff) eine einzige Stufe nicht ausreicht, um in den Erdorbit zu gelangen (wofür eine Endgeschwindigkeit von 28.000 km/h nötig ist). Um also selbst den kleinsten Satelliten im Erdorbit auszusetzen braucht es mindestens eine zweistufige Rakete. Für die zweite Stufe gilt die selbe Gleichung, doch ist die Anfangsgeschwindigkeit dann nicht Null (Liftoff auf der Startrampe), sondern die Endgeschwindigkeit der ersten Stufe, da sich die Geschwindigkeiten der aufeinander gestapelten Raketenstufen einfach addieren.

Die Raketengrundgleichung wurde zuerst von dem russischen Lehrer Konstantin Ziolkowski gefunden; er veröffentlichte - in russischer Sprache - seine Berechnungen erstmals 1903. Der Siebenbürger Hermann Oberth leitete die Gleichung unabhängig von Ziolkowski (von dessen Arbeiten er nichts wusste) ab und veröffentlichte sie - in deutscher Sprache - 1923 in dem Buch Rakete zu den Planetenräumen. Auch der Amerikaner Robert Hutchings Goddard kam im Laufe seiner Forschungen auf die Grundgleichung der Raumfahrt. Goddard gelang es zudem, die erste Flüssigkeitsrakete der Welt zu starten: Am 16. März 1926 flog das Gerät, das vollgetankt keine 10 Kilo auf die Waage brachte, rund 50 Meter weit und erreichte eine Höhe von 12,5 Meter; der Flug dauerte zweieinhalb Sekunden.

 

 

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